Un nen pot aprendre conceptes matemàtics bàsics de dues maneres: una, utilitzant materials concrets durant els anys en què gaudeix de la seva manipulació, o dues, per mitjà de mètodes abstractes quan entra a primària.

 La Dra. Montessori demostrà que si un nen té accés a l’equip de materials de matemàtiques en els seus primers anys, pot assimilar fàcilment dits conceptes i càlculs matemàtics. D’altra manera, aquest mateixos conceptes i càlculs s’hauran d’aprendre repetint-los hora rera hora d’una forma completament abstracta.

La Dra. Montessori dissenyà materials concrets que representen tots els tipus de quantitats, després d’haver observat que el nen s’interessava per comptar conforme anava movent o tocant els objectes que enumerava. En l’ambient Montessori, un nen no solament veu el símbol representant 1,10,100,1000,1/2, sinó que pot prendre a les seves mans les quantitats corresponents a aquests símbols.

Més tard, per mitjà de la combinació, distribució, enumeració i comparació d’aquests materials, el nen pot demostrar-se a si mateix les operacions bàsiques de matemàtiques. Aquesta activitat li dóna satisfacció d’aprendre descobrint i no solament per mitjà de l’ensenyança verbal. A la llarga, el nen desenvoluparà un entusiasme avançat pel món dels números.

A l’aula Montessori, el nen té la seva primera introducció als números mitjançant un grup d’Astes de Fusta vermelles i blaves que representen les quantitats de l’1 al 10.

La mestra o guia ajuda el nen a comptar les seccions vermelles i blaves de cada asta conforme es van col·locant en forma d’escala. El nen anomena l’asta més petita “u”, a la següent “dos”, i així successivament. L’asta número “dos” es considera una unitat, en canvi és igual a dues astes del número “u”. Més o menys al mateix temps, el nen aprèn els símbols corresponents a aquestes quantitats, traçant-los amb els Numerals de Lija. La guia ajuda el nen a col·locar cada un dels numerals junt a la quantitat corresponent.

Treballant amb aquest material, el nen té l’oportunitat de descobrir molts conceptes aritmètics. Per exemple: si col·loca l’asta “u” junt a l’asta “dos”, pararà compte que té la mateixa longitud que l’asta “tres”. També pot parar compte d’una divisió simple; per exemple: l’asta número “dos” cap perfectament tres vegades en l’asta número “sis”. D’igual manera, el nen utilitza les astes per demostrar les diverses combinacions que són iguals a l’asta número “deu”. Col·loca l’asta “u” junt a l’asta “nou”, l’asta número “dos” junt a l’asta número “vuit”, l’asta “tres” junt a l’asta número “set”, l’asta “quatre” junt a l’asta “sis” i l’asta “cinc” es repeteix dues vegades.

La Caixa de Fusos és un exercici paral·lel a l’associació de símbols numèrics i les seves quantitats. En aquest exercici els números conserven un ordre fixa i les quantitats estan soltes. La Caixa de Fusos està dividida i cada una de les divisions està marcada amb els símbols numèrics del 0 al 9. En una caixa addicional es tenen 45 fusos de fusta. El nen col·loca un fus en la divisió del número u, dos fusos en la del dos, i així successivament. La primera divisió està marcada amb el zero i aquesta serà la primera introducció que el nen té al zero. Generalment, el nen intentarà col·locar un fus en aquesta divisió; però ha d’aprendre que el zero és igual a res.

Els Numerals i les Fitxes. En aquest exercici trobem que tant símbols com quantitats estan sols, i ambdós han de col·locar-se en ordre. Primer, el nen arreglarà els números en ordre ascendent. Després, haurà d’arreglar les fitxes per parells sota de cada símbol. Cada número imparell tindrà una fitxa sobrant al final de la columna. Aquesta solució il·lustra automàticament els números parells i imparells.

Per aprendre els números de l’11 al 19, el nen utilitza un material conegut com Les Taules de Seguin. Les taules tenen impreses el número 10 nou vegades- una sota de l’altra. Completant aquest material, tenim números de l’1 al 9 impresos en petites tauletes. El nen forma el número 11 lliscant la tauleta amb el número 1 dins del primer 10 en la Taula, i el col.loca sobre el zero. Això li demostra al nen d’una forma concreta que l’11 està format per 10 més 1. Després forma el 12 lliscant el 2 sobre el zero del segon 10. La guia o mestra ajuda al nen amb les paraules: onze, dotze, tretze,...etc.

Un altre grup de taules ensenya al nen els números del 21 al 99, per formar les quantitats corresponents en aquest exercici, el nen utilitza barres de perles de color. Per tant, les Taules de Seguin es presenten generalment després que se li ha presentat al nen el material del Sistema Decimal.

El material de Les Perles Daurades dissenyat per la Dra. Montessori per il·lustrar el Sistema Decimal, consisteix en una única perla que representa la Unitat. La barra formada per 10 unitats representa la Desena. El quadre format per 10 desenes representa la centena i el cub format per 10 centenes representa la Unitat de Miler. Els nens ja coneixen els termes quadrat i cub per mitjà del seu treball amb els materials geomètrics.

La guia explica als nens que el comptar grans quantitats d’unitats pren temps i esforç; per tant, quan tingui 10 unitats les canviem per una barra de Deu o Desena. Quan tingui 10 desenes o barres de Deu, les canviem per un quadrat de Cent o Centena, i quan tingui 10 quadrats de cent els canviem per un cub de Mil o Unitats de Miler.

Aquest material també està compost per targetes blanques amb els números corresponents: 1,10,100,1000. Cada una de les jerarquies està impresa en diferents colors: la Unitat en verd, les Desenes en blau, les  Centenes en vermell i les Unitats de Miler en verd una altra vegada, ja que són unitats però de Miler (seguides per Desenes de Miler, Centenes de Miler, etc ).

El Sistema Decimal se li presenta al nen mitjançant tres exercicis bàsics: primer, els nens formen quantitats amb el material de perles. La guia comença amb números senzills; per exemple: “Portem 5 desenes i 7 unitats”. Més tard els nens gaudiran portant grans quantitats com: “8 unitats de miler, 4 centenes, 3 desenes i 2 unitats”.

En el segon exercici, els nens busquen les targetes que representen els números que la guia els demana oralment, com 8 desenes i 3 unitats; i finalment aprenen a combinar els números amb les quantitats corresponents formades amb el material de perles. Amb les Taules de Seguin, els nens aprenen a interpretar els números, com per exemple: 7 desenes i una unitat és igual a 71.

Les targetes amb els números poden combinar-se d’una manera molt interessant. Quan la targeta amb el número 1 es col.loca damunt de la  del 10 es pot llegir el número 11. Quan l’11 es col.loca damunt de la targeta 100 es pot llegir 111 i quan aquestes a la seva vegada es col·loquen damunt de la targeta 1000 es pot llegir 1111,...etc.

La Cadena del 1000 ens demostra com es varia el cub de la Unitat de Miler si es desbarata i totes les perles que el formen es col·loquen en una sola filera. La cadena que en realitat està formada per 100 barres de Deu, s’utilitza com un exercici per a que el nen compti de 10 en 10 fins a 1000.

Els números 10,20,30,etc., fins 990 i el 1000 estan escrits en petites targetes en forma de fletxa que el nen col.loca junt a la perla corresponent a la cadena. Els nens es fascinen amb aquesta cadena ja que medeix nou metres i mig aproximadament.

S’anomena Joc del Banquer a qualsevol exercici en que es requereixi un intercanvi de Perles Daurades. A la gran quantitat de material que el nen utilitza en aquest joc, se l’anomena Banc. Els nens utilitzen el Banc quan volen canviar unitats a desenes, desenes a centenes, centenes a milers o viceversa. També utilitzen el Banc quan sumen, resten, multipliquen o divideixen amb quatre números al dividend.

Si dos nens volen sumar, cada un col.loca una quantitat en una bandeja de material i seleccionen les targetes corresponents a aquesta quantitat. Després uneixen les dues quantitats en una catifa i seleccionen les targetes que representen el total.

Per restar, la guia col.loca una quantitat gran amb el material de perles, més les seves targetes corresponents, en una bandeja. Després li dóna al nen una bandeja per material amb un número escrit en un paper. El nen “treu” aquesta quantitat de la bandeja de la guia i pren en targetes els símbols corresponents. La quantitat restant a la bandeja de la guia és el resultat. Amb aquest exercici, el nen es dóna compte que al restar està disminuint una gran quantitat, deixant una quantitat més petita.

Quan el nen aprèn a dividir, se li ensenya que dividir és compartir i que el resultat de la divisió és el que una persona obté. Si se li presenta el problema 1294 dividit entre 3, li demana a altres tres nens que prenguin una bandeja i s’assentin amb ell en una catifa, el nen busca la quantitat requerida amb el material de perles representant 1294.

Ell comença a compartir o a dividir la seva quantitat equitativament entre els seus companys començant pel cub del Mil. Ja que no pot dividir un sol cub entre tres, el nen el canvia en el Banc per 10 quadrats de 100 o centenes. Ara ja té 12 centenes, és a dir, les 10 del canvi més 2 que tenia de la quantitat original, i comença a repartir-les entre els tres nens. Cada nen rep 4 centenes. De seguida, divideix les 9 barres de deu o desenes, cada nen en rep 3; i per últim divideix 4 unitats, cada nen en rep 1. Queda una unitat que no es pot dividir. La resposta és el que cada nen rep: 431, amb una unitat de residu.

El nen pregunta algunes vegades si una unitat es pot dividir. Aquesta ocasió és ideal per presentar-li el Material de Fraccions que demostra com una unitat pot dividir-se en parts. Tenim deu cercles. El primer és l’enter. El segon està dividit en dues meitat, el tercer en tres tercis, i així successivament fins els deu dècims. Aquest material li demostra al nen concretament que ¼ és més petit que ½. Si pren el cercle que està dividit en meitats, treu una d’aquestes meitats i col.loca dues fraccions de ¼ cada una en l’espai d’aquesta meitat, el nen es donarà compte que 2/4 són iguals a ½. Es poden demostrar moltes altres equivalències fraccionàries amb aquest material. Quan el nen estigui interessat, aprendrà a escriure els nombres de les fraccions i com fer combinacions simples.

A l’aula Montessori, el nen no s’assenta mai a memoritzar les taules de multiplicar. Al contrari, el nen aprèn les combinacions necessàries per la memorització de les operacions treballant concretament cada una d’aquestes combinacions. Quan el nen vol treballar amb Aritmètica, se li dóna una fulla de paper amb problemes senzills. Operacions similars es poden treballar amb una gran varietat de materials.

Aquesta varietat és la que li dóna al nen la oportunitat de repetir un concepte quantes vegades sigui necessari, mantenint sempre el seu interès. Conforme va memoritzant les taules de la suma i la multiplicació, va entenent realment el que significa cada operació. Dins de l’aula Montessori trobem molts materials que poden usar-se per sumar, restar, multiplicar i dividir.

L’Escala Curta representa quantitats de l’1 al 10 en colors fàcils de reconèixer. Una sola perla vermella representa l’1. Una barra de dues perles verdes representa el 2. Una barra de tres perles roses representa el 3, i així successivament fins arribar a la barra de deu perles daurades representant el 10 o desena. Si un nen desitja sumar 3+5, col.loca la barra rosa del 3 junt a la barra del 5 i compte totes les perles escrivint posteriorment el resultat: 3+5=8.

El Material de Quadrats i Cubs (El Gabinet de Perles), segueixen el mateix patró de colors, s’utilitzen per les perles que formen els quadrats i els cubs de l’1 al 10. Per exemple: 6 al quadrat està representat per 36 perles de color violeta, totes juntes formant el quadrat. 6 al cub està format per 216 perles violetes que juntes formen el cub. El quadrat de 6 també es representa per una cadena formada per 6 barres de perles violetes, el cub per una cadena de 36 barres de sis. Les cadenes s’utilitzen per comptar saltejant ( en aquest cas per comptar de 6 en 6), i per atendre quadrats i cubs dels números de l’1 al 10.

Les barres de perles de colors també s’utilitzen per Multiplicar. Si un nen té, per exemple: 6x4, pren sis barres del quatre, o sigui  quatre perles grogues, i les col.loca en un petit tapet. Compta el total de perles i escriu el seu resultat: 6x4=24. Quan el nen treballa amb aquest material, entén el que vol dir multiplicar, que en aquest cas és prendre el 4, sis vegades.

En la Resta el nen pot utilitzar unitats (perles senzilles) per efectuar una resta simple. Per resoldre el problema 9-3, col.loca 9 unitats en un tapet de feltre i treu tres de les unitats. Compta les perles restants i escriu el seu resultat: 9-3=6. Moltes vegades el nen aprendrà les combinacions de la resta col·locant simplement els termes de la suma en diferent ordre: 4+4=8; per tant, 8-4=4

El Tauler de la Divisió. Per resoldre divisions simples s’utilitza un tauler de forma quadrada, fitxes en forma de gent i perles verdes. Les fitxes verdes representen al divisor o el número de gent a qui se li distribueix la quantitat. Per resoldre 20 dividit entre 4, el nen col.loca quatre fitxes a la part superior del tauler i després comença a distribuir les vint perles entre cada un d’ells. A cada una de les fitxes li tocaran cinc perles, aquest és el resultat de la divisió i el que escriu al paper.